Ejercicios de Cinemática Oposiciones Física y Química

La cinemática en las oposiciones de Física y Química

La cinemática es la rama base de toda la mecánica. Aparece en la mayoría de problemas de mecánica, aunque sea incluida como conceptos básicos para el planteamiento del problema. Esto es, además, extensible a otros problemas o bloques como el de inducción electromagnética o gravitación. Si no entendemos las bases de la cinemática tenemos un problema gordo con la Física (como explico en la guía de Mecánica para oposiciones), ya que nos será realmente difícil interiorizar y dominar los conceptos del resto de bloques.

Además, dentro de la preparación del práctico de las oposiciones de FyQ, la cinemática es la forma más sencilla de introducirnos a herramientas matemáticas que utilizaremos constantemente: el uso de vectores, integrales o ecuaciones diferenciales con cierta soltura será imprescindible en los problemas de examen del nivel de las oposiciones de FyQ de Secundaria, así que este bloque nos puede servir también como una aproximación en este sentido. La cinemática es especialmente oportuna en este sentido porque nos ayuda a introducirnos en estos conceptos a partir de ideas muy intuitivas y sencillas como el vector posición, velocidad instantánea o aceleración (y sus componentes intrínsecas).

En este artículo encontrarás un repaso de los conceptos más importantes de esta parte del práctico, así como un ejercicio de un examen de una convocatoria pasada resuelto paso a paso, con un análisis detallado de los puntos más importantes y de detalles que marcan la diferencia ante el tribunal.

Repaso teórico esencial de Cinemática

La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos sin atender a las causas que lo producen. Su lenguaje (posición, velocidad, aceleración) constituye el esqueleto sobre el que después se apoyarán la dinámica y los conceptos energéticos, y por eso los tribunales nos hacen enfrentarnos a ella tanto de forma aislada como integrada en problemas más complejos. Vamos a ver algunas ideas básicas que a muchos os sonarán:

El punto de partida es siempre el vector posición y las ecuaciones de movimiento que lo describen en función del tiempo. Para un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) la posición evoluciona linealmente; al añadir una aceleración constante se obtiene el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), cuyas ecuaciones son la base de problemas clásicos como la caída libre. Conviene dominar no solo las fórmulas canónicas, sino también su derivación a partir de la integración directa de la aceleración, porque ciertos problemas de oposición (como el de Extremadura 1996, donde un cuerpo cae en un fluido con resistencia proporcional a la velocidad) exigen resolver la ecuación diferencial del movimiento para obtener la expresión de la velocidad límite.

El tiro parabólico es, con diferencia, el subtema cinemático más preguntado. Su tratamiento se basa en la composición de un MRU horizontal y un MRUA vertical, lo que conduce a una trayectoria parabólica. Los enunciados de oposición van más allá del caso estándar: piden alcances sobre precipicios (Baleares 2024), condiciones de paso por un punto dado con varios ángulos posibles (Aragón 2025) o incluso la determinación de la envolvente de todas las trayectorias posibles para una velocidad fija, conocida como parábola de seguridad, un resultado elegante que delimita la región del plano alcanzable por el proyectil.

El movimiento circular uniforme (MCU) constituye otra temática esencial. Aquí las magnitudes fundamentales son la velocidad angular ω, el período T, la frecuencia f y la aceleración centrípeta. Los problemas suelen ser contextualizados (lo que ahora típicamente llamamos «competencial») como en un problema de una noria que apareció en Andalucía en 2023 o un ejercicio de caballitos de feria que pusieron en Cataluña en 2024, y piden convertir entre unidades angulares (rad/s, rpm) o calcular el número de vueltas en un intervalo dado. Debemos tener claro que cuando la velocidad angular varía uniformemente se habla de MCUA, y aparecen las ecuaciones angulares análogas a las del MRUA lineal.

Un escalón por encima se sitúa el movimiento relativo, que exige manejar con soltura la composición de velocidades y aceleraciones entre distintos sistemas de referencia. El problema de la grúa giratoria de Murcia 2025, en el que conviven una rotación horizontal, una elevación angular y un desplazamiento a lo largo del brazo, es un ejemplo excelente del nivel máximo que nos puede pedir un tribunal en este sentido. Cuando el sistema de referencia es no inercial, como ocurre al analizar la caída de un objeto desde una torre en el ecuador terrestre (Aragón 2015), aparecen las fuerzas ficticias de Coriolis y centrífuga, y como opositor debes saber justificar la desviación lateral del cuerpo en caída libre.

Finalmente, la composición de movimientos armónicos simples perpendiculares genera las llamadas figuras de Lissajous (La Rioja 2023). Determinar la ecuación de la trayectoria eliminando el parámetro tiempo es una técnica algebraica imprescindible, y permite clasificar la curva resultante como una elipse, una recta o una circunferencia según la relación de frecuencias y el desfase entre las componentes. Como es evidente, este tipo de ejercicio es mucho más específico

Dominar estos conceptos con fluidez (saber cuándo aplicar cada modelo, traducir el enunciado a ecuaciones y discutir críticamente los resultados) es lo que diferencia a un opositor bien preparado de uno que no tiene las cosas del todo claras.

Aquí te dejo las fórmulas más básicas para esta rama. Mi recomendación es que aprendas a deducirlas de los conceptos de los que proceden, pero memorizar algunas puede ser útil y práctico para nuestro examen.

MAGNITUDES FUNDAMENTALES

Vector posición

$$\vec{r}(t) = x(t)\,\vec{i} + y(t)\,\vec{j} + z(t)\,\vec{k}$$

Velocidad media

$$\vec{v}_m = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{\vec{r}(t_2) – \vec{r}(t_1)}{t_2 – t_1}$$

Velocidad instantánea

$$\vec{v}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \dot{x}\,\vec{i} + \dot{y}\,\vec{j} + \dot{z}\,\vec{k}$$

Rapidez (módulo de la velocidad)

$$v = |\vec{v}| = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2}$$

Aceleración media

$$\vec{a}_m = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}(t_2) – \vec{v}(t_1)}{t_2 – t_1}$$

Aceleración instantánea

$$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$$

Componentes intrínsecas de la aceleración

$$\vec{a} = a_t\,\vec{u}_t + a_n\,\vec{u}_n$$

$$a_t = \frac{dv}{dt}$$

$$a_n = \frac{v^2}{R}$$

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

MRU (a = 0)

$$x(t) = x_0 + v \cdot t$$

MRUA (a = cte)

$$v(t) = v_0 + a \cdot t$$

$$x(t) = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2}\,a\,t^2$$

$$v^2 = v_0^2 + 2\,a\,(x – x_0)$$

$$x – x_0 = \frac{v + v_0}{2} \cdot t$$

CAÍDA LIBRE Y LANZAMIENTO VERTICAL

Eje y positivo hacia arriba, origen en el punto de lanzamiento:

$$v_y(t) = v_0 – g\,t$$

$$y(t) = v_0\,t – \frac{1}{2}\,g\,t^2$$

$$v_y^2 = v_0^2 – 2\,g\,y$$

Caída libre desde el reposo (positivo hacia abajo):

$$v(t) = g\,t$$

$$y(t) = \frac{1}{2}\,g\,t^2$$

$$v^2 = 2\,g\,y$$

TIRO PARABÓLICO

Componentes de la velocidad inicial

$$v_{0x} = v_0 \cos\alpha \qquad;\qquad v_{0y} = v_0 \sin\alpha$$

Ecuaciones horarias

$$x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t$$

$$y(t) = v_0 \sin\alpha \cdot t – \frac{1}{2}\,g\,t^2$$

Ecuación de la trayectoria (eliminando t)

$$y = x\,\tan\alpha – \frac{g\,x^2}{2\,v_0^2\,\cos^2\alpha}$$

Tiempo de vuelo (de suelo a suelo)

$$T = \frac{2\,v_0\,\sin\alpha}{g}$$

Alcance horizontal (máximo para α = 45°)

$$R = \frac{v_0^2\,\sin(2\alpha)}{g}$$

Altura máxima

$$H = \frac{v_0^2\,\sin^2\alpha}{2\,g}$$

Velocidad en cualquier instante

$$\vec{v}(t) = v_0\cos\alpha\;\vec{i} + (v_0\sin\alpha – g\,t)\;\vec{j}$$

$$|\vec{v}(t)| = \sqrt{v_0^2 – 2\,g\,y(t)}$$

Ángulo de la velocidad con la horizontal

$$\tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{v_0\sin\alpha – g\,t}{v_0\cos\alpha}$$

Parábola de seguridad (envolvente)

$$y = \frac{v_0^2}{2\,g} – \frac{g\,x^2}{2\,v_0^2}$$

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

Posición angular

$$\theta(t) = \theta_0 + \omega\,t$$

Relación velocidad angular-lineal

$$v = \omega\,R \qquad;\qquad \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$$

Período y frecuencia

$$T = \frac{2\pi}{\omega} \qquad;\qquad f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$$

Conversión rpm a rad/s

$$\omega\;(\mathrm{rad/s}) = \frac{2\pi \cdot N\;(\mathrm{rpm})}{60}$$

Aceleración centrípeta

$$a_n = \frac{v^2}{R} = \omega^2\,R$$

Posición en cartesianas

$$x(t) = R\,\cos(\omega\,t + \varphi_0) \qquad;\qquad y(t) = R\,\sin(\omega\,t + \varphi_0)$$

MCUA (MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO)

$$\omega(t) = \omega_0 + \alpha\,t$$

$$\theta(t) = \theta_0 + \omega_0\,t + \frac{1}{2}\,\alpha\,t^2$$

$$\omega^2 = \omega_0^2 + 2\,\alpha\,(\theta – \theta_0)$$

Aceleración tangencial y total

$$a_t = \alpha\,R$$

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_n^2 + a_t^2} = R\,\sqrt{\omega^4 + \alpha^2}$$

Condición de rodadura sin deslizamiento

$$v = \omega\,R \qquad;\qquad a = \alpha\,R$$